Assiomi del punto e della retta

La geometria è nata dall'osservazione attenta dei fenomeni naturali. I nostri antenati, alzando gli occhi al cielo, notavano che il sole nel suo movimento percorreva una linea curva, mentre la separazione tra terra e cielo appariva come una linea dritta.

Osservando la caduta delle foglie dagli alberi o il movimento degli oggetti, gli antichi iniziarono a riconoscere diverse forme e traiettorie geometriche.

In Egitto, come racconta lo storico Erodoto, la geometria nacque per necessità pratiche. Le piene del Nilo modificavano ogni anno l'estensione delle proprietà terriere, rendendo necessario ricalcolare i terreni per motivi fiscali.

Il termine geometria deriva proprio da geo (terra) e metron (misura), indicando l'origine pratica di questa disciplina come 'misura della terra'.

Un assioma (o postulato) è un'affermazione che si considera palesemente vera e che quindi non ha bisogno di essere dimostrata.

Gli assiomi sono il punto di partenza di ogni teoria matematica: se cambia uno di essi, tutto quello che viene dopo (teoremi e regole) non risulta più vero.

Perché una proposizione sia un assioma deve soddisfare due condizioni importanti:

Compatibilità: gli assiomi non devono contraddirsi l'uno con l'altro.

Indipendenza: dalle proprietà affermate da un assioma non deve essere possibile dedurre le proprietà affermate da un altro assioma.

Una teoria assiomatica si basa su tre aspetti fondamentali:

1. Enti primitivi: concetti che non vengono definiti ma sono assunti come noti (punto, retta, piano).

2. Assiomi o postulati: affermazioni che si assumono come vere senza dimostrazione.

3. Teoremi: proposizioni che vengono dimostrate utilizzando gli assiomi e la logica deduttiva.

Questo metodo garantisce rigore e coerenza a tutta la costruzione matematica.

In geometria, il punto, la retta e il piano sono definiti enti primitivi perché sono gli elementi di base attraverso i quali vengono definiti tutti gli altri enti geometrici.

Il punto geometrico è un elemento senza dimensioni che indica solamente una posizione nello spazio. Quando tracciamo un punto sul foglio, quel segno è solo una rappresentazione dell'idea di punto.

La retta è un insieme continuo e infinito di punti. La sua unica dimensione è la lunghezza. Una retta non ha origine né fine, per questo nei disegni usiamo tratteggi alle estremità per indicare l'infinità.

Il piano è un insieme continuo e infinito di rette. Si estende in due dimensioni: larghezza e lunghezza. Anche il piano è infinito, ma per rappresentarlo usiamo figure finite come un foglio o una lavagna.

I punti si indicano con lettere maiuscole (A, B, C), le rette con lettere minuscole (r, s, t), i piani con lettere greche (α, β, γ, π).

Primo postulato fondamentale di esistenza: esistono infiniti punti, infinite rette e infiniti piani.

I postulati di appartenenza stabiliscono le relazioni tra gli enti geometrici fondamentali:

1. Ad ogni retta appartengono almeno due punti, ad ogni piano appartengono almeno tre punti non allineati.

2. Per un punto passano infinite rette.

3. Per due punti distinti passa una sola retta.

4. Data una retta su un piano, esiste almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.

5. Se una retta ha in comune con un piano due punti distinti, allora tutti i punti della retta appartengono al piano.

Dal secondo postulato deduciamo che per un punto passano infinite rette. Se segniamo un punto A su un foglio e tracciamo diverse rette passanti per A, ci rendiamo conto che possiamo tracciarne quante ne vogliamo.

Dal terzo postulato deduciamo che per due punti distinti passa una sola retta. Se segniamo due punti A e B e tracciamo la retta che li unisce, questa è unica.

Il quinto postulato ci dice che se una retta ha due punti in comune con un piano, allora giace completamente su quel piano. Questo è fondamentale per capire le relazioni tra rette e piani.

Questi assiomi, apparentemente semplici, sono la base per costruire tutta la geometria euclidea e per dimostrare teoremi complessi come quello di Pitagora.