Piano cartesiano: rappresentazione di punti e quadrilateri

Il piano cartesiano è formato da due rette perpendicolari chiamate assi coordinati: l'asse delle ascisse (orizzontale, indicato con x) e l'asse delle ordinate (verticale, indicato con y). Il punto di intersezione è detto origine e ha coordinate (0,0).

Ogni punto del piano è identificato da una coppia ordinata di numeri reali (x,y), dove x rappresenta la ascissa (distanza dall'asse y) e y rappresenta l'ordinata (distanza dall'asse x).

Per rappresentare un punto come A(5,1), partiamo dall'origine, ci spostiamo di 5 unità verso destra lungo l'asse x, poi di 1 unità verso l'alto lungo l'asse y. Il punto risultante è la rappresentazione grafica di A.

Nell'esercizio proposto, dobbiamo rappresentare i seguenti punti: A(5,1), B(2,5), C(-1,1) e D(2,-3).

Il punto A(5,1) si trova nel primo quadrante, con ascissa positiva 5 e ordinata positiva 1. Il punto B(2,5) è anch'esso nel primo quadrante, ma con ordinata maggiore dell'ascissa.

Il punto C(-1,1) si trova nel secondo quadrante, con ascissa negativa -1 e ordinata positiva 1. Il punto D(2,-3) è nel quarto quadrante, con ascissa positiva 2 e ordinata negativa -3.

Collegando i punti nell'ordine dato (A→B→C→D→A), otteniamo un quadrilatero chiuso che possiamo analizzare dal punto di vista geometrico.

Per classificare il quadrilatero ABCD, dobbiamo analizzare le proprietà dei suoi lati e dei suoi angoli. Iniziamo calcolando le lunghezze dei lati usando la formula della distanza tra due punti.

La distanza tra due punti P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂) è data dalla formula: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²].

Calcoliamo i lati: AB = √[(2-5)² + (5-1)²] = √[9+16] = 5; BC = √[(-1-2)² + (1-5)²] = √[9+16] = 5; CD = √[(2-(-1))² + (-3-1)²] = √[9+16] = 5; DA = √[(5-2)² + (1-(-3))²] = √[9+16] = 5.

Tutti i lati hanno la stessa lunghezza (5 unità), quindi ABCD è un rombo. Per verificare se è anche un quadrato, dobbiamo controllare se gli angoli sono retti analizzando le pendenze dei lati.

La pendenza di un segmento che unisce i punti P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂) è data da: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁).

Calcoliamo le pendenze: m_AB = (5-1)/(2-5) = 4/(-3) = -4/3; m_BC = (1-5)/(-1-2) = -4/(-3) = 4/3; m_CD = (-3-1)/(2-(-1)) = -4/3; m_DA = (1-(-3))/(5-2) = 4/3.

Due rette sono perpendicolari se il prodotto delle loro pendenze è -1. Verifichiamo: m_AB × m_BC = (-4/3) × (4/3) = -16/9 ≠ -1.

Poiché i lati consecutivi non sono perpendicolari, il quadrilatero ABCD è un rombo ma non un quadrato. Tuttavia, i lati opposti sono paralleli (hanno la stessa pendenza), confermando che è un parallelogramma.

Il perimetro di un quadrilatero è la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati. Nel nostro caso, avendo già calcolato che tutti i lati hanno lunghezza 5 unità, il calcolo è immediato.

Perimetro = AB + BC + CD + DA = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 unità.

Questa proprietà (tutti i lati uguali) conferma ulteriormente la classificazione del quadrilatero come rombo.

Per calcolare l'area di un quadrilatero nel piano cartesiano, possiamo utilizzare la formula di Shoelace (o formula del laccio): Area = ½|∑(xᵢyᵢ₊₁ - xᵢ₊₁yᵢ)|.

Applicando la formula con i vertici in ordine A(5,1), B(2,5), C(-1,1), D(2,-3): Area = ½|(5×5 + 2×1 + (-1)×(-3) + 2×1) - (1×2 + 5×(-1) + 1×2 + (-3)×5)|.

Calcoliamo: (25 + 2 + 3 + 2) - (2 - 5 + 2 - 15) = 32 - (-16) = 48. Quindi Area = ½ × 48 = 24 unità quadrate.

Possiamo verificare questo risultato usando la formula alternativa per il rombo: Area = base × altezza, dove la base è un lato e l'altezza è la distanza perpendicolare tra i lati paralleli.

Il rombo ABCD presenta tutte le proprietà caratteristiche di questa figura: quattro lati uguali, lati opposti paralleli e angoli opposti uguali.

Le diagonali del rombo si incontrano perpendicolarmente nel centro della figura e si bisecano reciprocamente. Nel nostro caso, possiamo calcolare le diagonali AC e BD e verificare queste proprietà.

Diagonale AC: lunghezza = √[(5-(-1))² + (1-1)²] = √[36+0] = 6 unità. Diagonale BD: lunghezza = √[(2-2)² + (5-(-3))²] = √[0+64] = 8 unità.

Area del rombo = ½ × d₁ × d₂ = ½ × 6 × 8 = 24 unità quadrate, confermando il nostro calcolo precedente.

L'analisi completa del quadrilatero ABCD ci ha permesso di determinare che si tratta di un rombo con le seguenti caratteristiche misurabili: perimetro 20 unità, area 24 unità quadrate.

Questo esercizio dimostra l'importanza del piano cartesiano come strumento per l'analisi quantitativa delle figure geometriche, permettendo calcoli precisi di distanze, angoli e aree.

La verifica incrociata dell'area (calcolata sia con la formula di Shoelace che con quella delle diagonali) conferma la correttezza dei nostri calcoli e l'affidabilità dei metodi della geometria analitica.