Le frazioni: definizione, proprietà e operazioni fondamentali

La frazione è una o più parti di un intero che è stato diviso in parti uguali. È uno strumento matematico che ci permette di rappresentare quantità che non sono numeri interi.

Una frazione è rappresentata nel seguente modo: a/b, dove:

• Il numeratore (a) indica quante parti consideriamo

• Il denominatore (b) indica in quante parti uguali è diviso l'intero

• La linea di frazione separa numeratore e denominatore e rappresenta l'operazione di divisione

Per comprendere meglio, possiamo immaginare di prendere una torta e dividerla in 5 parti uguali. Se consideriamo solo 2 fette su 5 fette totali, la parte considerata è 2/5 dell'intera torta.

A seconda delle caratteristiche reciproche di numeratore e denominatore, le frazioni acquisiscono dei nomi particolari:

Frazione propria: quando il numeratore è minore o uguale al denominatore. Rappresenta una quantità minore o uguale all'unità.

Esempio: 3/7 (tre settimi)

Frazione impropria: quando il numeratore è maggiore del denominatore. Rappresenta una quantità maggiore dell'unità.

Esempio: 7/3 (sette terzi)

Frazione apparente: quando il numeratore è un multiplo del denominatore. Rappresenta un numero intero.

Esempi: 3/3 = 1, 6/3 = 2, 9/3 = 3

Unità frazionaria: frazione che ha il numero 1 al numeratore. Rappresenta una singola parte dell'intero diviso.

Esempio: 1/3 (un terzo)

Moltiplicando o dividendo entrambi i termini della frazione per uno stesso numero (diverso da zero) si ottiene una frazione equivalente a quella data.

Questa proprietà è fondamentale per semplificare le frazioni e per eseguire operazioni.

Esempio di moltiplicazione: 1/3 × 3/3 = 3/9

Le frazioni 1/3 e 3/9 sono equivalenti perché rappresentano la stessa quantità di un intero.

Esempio di divisione: 6/9 ÷ 3/3 = 2/3

L'insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione si chiama classe di equivalenza. Per semplicità, ogni classe viene identificata dalla frazione ridotta ai minimi termini.

Per sommare o sottrarre frazioni, è necessario che abbiano lo stesso denominatore. Se i denominatori sono diversi, dobbiamo prima trovare frazioni equivalenti con un denominatore comune.

Il procedimento prevede:

1. Trovare il minimo comune multiplo dei denominatori

2. Trasformare le frazioni in frazioni equivalenti con il denominatore comune

3. Sommare o sottrarre i numeratori

4. Mantenere il denominatore comune

Esempio di addizione: 1/2 + 3/7 = 7/14 + 6/14 = 13/14

Nel calcolo: 14 è il m.c.m. di 2 e 7; 14÷2×1=7 e 14÷7×3=6

Esempio di sottrazione: 5/9 - 3/12 = 20/36 - 9/36 = 11/36

La moltiplicazione tra frazioni è più semplice dell'addizione: si moltiplicano i numeratori tra loro e i denominatori tra loro.

Formula generale: a/c × b/d = (a×b)/(c×d)

Esempio: 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15

Semplificazione a croce: Prima di moltiplicare, è possibile semplificare dividendo un numeratore e un denominatore per il loro massimo comune divisore.

Esempio: 9/4 × 8/3 = (9×8)/(4×3)

Ma possiamo semplificare: 9 e 3 sono divisibili per 3, quindi: (3×8)/(4×1) = 24/4 = 6

La divisione tra frazioni si trasforma in una moltiplicazione: dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo reciproco.

Il reciproco di una frazione si ottiene scambiando numeratore e denominatore.

Formula generale: a/c ÷ b/d = a/c × d/b = (a×d)/(c×b)

Esempio: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = (3×5)/(4×2) = 15/8

Questo metodo funziona perché dividere per un numero equivale a moltiplicare per il suo inverso.

Le frazioni sono utilizzate in molte situazioni della vita quotidiana:

• Cucina: per dosare gli ingredienti (1/2 tazza di farina)

• Tempo: per esprimere parti dell'ora (1/4 d'ora = 15 minuti)

• Misure: per indicare lunghezze (3/4 di metro)

• Percentuali: 1/4 = 25%, 1/2 = 50%, 3/4 = 75%

• Probabilità: per calcolare la possibilità che accada un evento