Gli angoli e le operazioni angolari

Un angolo è la parte di piano racchiusa tra due semirette aventi l'origine in comune, chiamata vertice. Le due semirette sono chiamate lati dell'angolo.

Gli angoli possono essere classificati in base a diverse caratteristiche. Utilizzando i prolungamenti delle semirette, un angolo che contiene i prolungamenti delle semirette prende il nome di concavo, mentre in caso contrario si definisce convesso.

In base alle caratteristiche di altri angoli, una coppia di angoli si definisce complementare se la somma delle loro ampiezze ammonta a un angolo retto (90°), mentre si definisce supplementare se la somma ammonta a un angolo piatto (180°).

La classificazione principale degli angoli avviene in base alla loro ampiezza. Un angolo di 90° prende il nome di angolo retto, un angolo di 180° è chiamato angolo piatto, mentre un angolo di 360° è un angolo giro. Gli angoli di ampiezza inferiore a 90° si definiscono acuti, mentre quelli compresi tra 90° e 180° sono ottusi.

L'estensione dell'area di piano racchiusa rappresenta l'ampiezza dell'angolo e può essere quantificata utilizzando diverse unità di misura.

Gli angoli possono essere misurati in gradi. Un grado è rappresentato dalla trecentosessantesima parte di un angolo giro ed è l'unità di misura più utilizzata nella scuola media. Il grado è l'unità di misura leggibile sulla scala graduata di un goniometro, lo strumento utilizzato per quantificare l'ampiezza di un angolo.

Per utilizzare il goniometro correttamente, si deve porre il centro del goniometro in corrispondenza del vertice dell'angolo e far combaciare una delle due semirette con il diametro del goniometro. La misura dell'angolo è visibile seguendo l'altra semiretta e valutando il corrispondente valore sulla scala graduata dello strumento.

Esiste anche un'altra unità di misura chiamata radiante, utilizzata soprattutto negli studi più avanzati. Un radiante è rappresentato dall'estensione di un angolo al centro che insiste su un arco di lunghezza congruente al raggio della circonferenza considerata.

Quando si svolgono le operazioni angolari, bisogna tenere conto anche dei sottomultipli dell'unità di misura. Nel caso del grado, essi sono i primi e i secondi. Un primo è pari alla sessantesima parte di un grado (1° = 60'), mentre un secondo è pari alla sessantesima parte di un primo (1' = 60'').

Conoscere la strategia più adatta per risolvere le operazioni angolari è fondamentale per risolvere correttamente i problemi di geometria.

Per moltiplicare una misura angolare per un numero intero basta moltiplicare il numero intero per ciascuna unità dei vari ordini della misura stessa. Il risultato ottenuto deve essere ridotto in forma normale.

Consideriamo l'esempio: 20° 29' 24'' × 3. Moltiplichiamo ogni componente per 3: (20° × 3) + (29' × 3) + (24'' × 3) = 60° + 87' + 72''.

Ora dobbiamo ridurre il risultato in forma normale. Poiché 72'' = 1' 12'', abbiamo: 60° + 87' + 1' 12'' = 60° + 88' 12''. Dato che 88' = 1° 28', otteniamo: 60° + 1° 28' 12'' = 61° 28' 12''.

Alla fine di ciascuna operazione, è sempre bene scrivere il risultato in forma normale, assicurandosi che il valore dei secondi e dei primi sia sempre inferiore a 60.

Per dividere una misura angolare per un numero intero occorre seguire un procedimento specifico, che illustriamo con un esempio pratico.

Consideriamo la divisione: 112° 27' 30'' : 5. Per prima cosa, dividiamo 112° per 5, ottenendo 22° con resto di 2°.

Il primo resto ottenuto è 2°. Riduciamo questo resto in primi: 2° = 120'. Al primo resto scritto in primi aggiungiamo i 27' della misura iniziale e dividiamo il risultato ottenuto (147') per 5: 147' : 5 = 29' con resto di 2'.

Il secondo resto ammonta a 2'. Riduciamolo da primi a secondi: 2' = 120''. Aggiungiamo ai 30'' della misura iniziale il secondo resto trasformato in secondi: 120'' + 30'' = 150''.

Dividiamo 150'' per 5: 150'' : 5 = 30''. Poiché in questo caso il resto è 0, il risultato finale è: 112° 27' 30'' : 5 = 22° 29' 30''.

È importante procedere sempre dall'unità maggiore (gradi) a quella minore (secondi), trasformando ogni volta il resto nell'unità immediatamente inferiore.

Nei paragrafi precedenti abbiamo trattato della divisione e della moltiplicazione con le misure angolari. Addizioni e sottrazioni possono essere svolte in maniera più semplice.

Anche nel caso delle misure angolari, i due numeri coinvolti nell'operazione vanno scritti in colonna in maniera ordinata: i gradi sotto ai gradi, i primi sotto ai primi, i secondi sotto ai secondi.

Nel caso delle addizioni e delle sottrazioni, bisogna procedere partendo dall'ultima cifra a destra. L'unica differenza sostanziale riguarda le sottrazioni con "prestito".

Il prestito viene eseguito dalla cifra a sinistra rispetto a quella considerata quando, nel corso della sottrazione, il secondo termine risulta maggiore del primo. Se tale problema riguarda i secondi, un primo verrà trasformato in 60 secondi e aggiunto ai secondi presenti.

Allo stesso modo, se il problema riguarda i primi, un grado verrà trasformato in 60 primi. È fondamentale ricordare sempre di ridurre il risultato finale in forma normale.