Massimo comune divisore e minimo comune multiplo spiegati in modo semplice

Molti studenti hanno difficoltà con il massimo comune divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (mcm) proprio a causa dei loro nomi, che possono essere fuorvianti.

Quando sentiamo 'massimo comune divisore', la parola 'massimo' ci fa pensare a un numero grande. Analogamente, 'minimo comune multiplo' ci suggerisce un numero piccolo a causa della parola 'minimo'.

In realtà, sarebbe più chiaro chiamarli 'divisore comune più grande' e 'multiplo comune più piccolo'. Questo aiuterebbe a capire meglio la loro vera natura.

Il MCD è spesso un numero relativamente piccolo perché deve 'essere contenuto' come fattore in tutti i numeri considerati. Può essere anche 1, anche se stiamo lavorando con numeri molto grandi.

Il mcm, invece, è generalmente un numero grande perché deve 'contenere' tutti i numeri dati come suoi divisori, risultando spesso molto più grande dei numeri di partenza.

Esempio pratico: MCD(771, 772) = 1 (due numeri grandi hanno MCD piccolissimo), mentre mcm(15, 18) = 90 (due numeri relativamente piccoli hanno mcm più grande).

Conoscere bene il calcolo del MCD e del mcm è fondamentale per diverse ragioni pratiche nella matematica delle medie.

Il minimo comune multiplo è essenziale per:

• Le operazioni con le frazioni: per sommare o sottrarre frazioni con denominatori diversi, dobbiamo trovare il mcm dei denominatori

• Ridurre frazioni a comune denominatore: il mcm ci dà il denominatore più piccolo possibile

• Risolvere problemi di periodicità: quando eventi si ripetono con frequenze diverse

Il massimo comune divisore è utile per:

• Semplificare le frazioni: dividendo numeratore e denominatore per il loro MCD otteniamo la frazione ridotta ai minimi termini

• Scomporre problemi complessi: il MCD ci aiuta a trovare il 'fattore comune' più grande

• Distribuire quantità in parti uguali: in problemi pratici di divisione equa

Il primo passo fondamentale per calcolare MCD e mcm è la scomposizione in fattori primi di tutti i numeri coinvolti.

Scomporre un numero in fattori primi significa scriverlo come prodotto di numeri primi (numeri divisibili solo per 1 e per se stessi).

Procedimento per la scomposizione:

1. Si divide il numero per il più piccolo divisore primo possibile (di solito 2, 3, 5, 7, 11...)

2. Si continua a dividere il quoziente ottenuto per divisori primi sempre più piccoli possibili

3. Si prosegue finché il quoziente non diventa un numero primo

4. Si scrive il risultato come prodotto di potenze di numeri primi

Esempio pratico: 60 = 2² × 3 × 5

La scomposizione in fattori primi è la 'chiave' che ci permette di vedere chiaramente la struttura interna dei numeri e di calcolare facilmente MCD e mcm.

Una volta ottenute le scomposizioni in fattori primi di tutti i numeri, calcolare il MCD diventa molto semplice.

Regola per il MCD:

Il massimo comune divisore si ottiene prendendo tutti i fattori primi comuni ai numeri considerati, ciascuno elevato al minimo esponente con cui compare nelle scomposizioni.

Procedimento passo dopo passo:

1. Scomponiamo tutti i numeri in fattori primi

2. Identifichiamo i fattori primi che compaiono in tutte le scomposizioni

3. Per ogni fattore comune, prendiamo l'esponente più piccolo

4. Moltiplichiamo tutti questi fattori comuni con i loro esponenti minimi

Esempio: MCD(60, 84)

• 60 = 2² × 3 × 5

• 84 = 2² × 3 × 7

• Fattori comuni: 2 e 3

• MCD = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

Se non ci sono fattori primi comuni, il MCD è 1 (i numeri si dicono primi tra loro).

Il calcolo del minimo comune multiplo segue una logica opposta a quella del MCD, ma sempre basata sulla scomposizione in fattori primi.

Regola per il mcm:

Il minimo comune multiplo si ottiene prendendo tutti i fattori primi che compaiono nelle scomposizioni (comuni e non comuni), ciascuno elevato al massimo esponente con cui compare.

Procedimento passo dopo passo:

1. Scomponiamo tutti i numeri in fattori primi

2. Identifichiamo tutti i fattori primi che compaiono in almeno una scomposizione

3. Per ogni fattore primo, prendiamo l'esponente più grande tra quelli che compaiono

4. Moltiplichiamo tutti questi fattori con i loro esponenti massimi

Esempio: mcm(60, 84)

• 60 = 2² × 3 × 5

• 84 = 2² × 3 × 7

• Tutti i fattori: 2, 3, 5, 7

• mcm = 2² × 3 × 5 × 7 = 4 × 3 × 5 × 7 = 420

Il mcm contiene come divisori tutti i numeri di partenza ed è il più piccolo numero con questa proprietà.

Vediamo ora degli esempi completi per consolidare i concetti appresi e applicare correttamente i procedimenti.

Esempio 1: MCD e mcm di 250 e 450

Scomposizione di 250:

250 ÷ 2 = 125

125 ÷ 5 = 25

25 ÷ 5 = 5

5 ÷ 5 = 1

Quindi: 250 = 2 × 5³

Scomposizione di 450:

450 ÷ 2 = 225

225 ÷ 3 = 75

75 ÷ 3 = 25

25 ÷ 5 = 5

5 ÷ 5 = 1

Quindi: 450 = 2 × 3² × 5²

Calcolo del MCD:

Fattori comuni: 2 (esponente 1) e 5 (esponente minimo 2)

MCD(250, 450) = 2¹ × 5² = 2 × 25 = 50

Calcolo del mcm:

Tutti i fattori: 2, 3, 5 con esponenti massimi

mcm(250, 450) = 2¹ × 3² × 5³ = 2 × 9 × 125 = 2250

Esempio 2: MCD e mcm di 20 e 28

Scomposizione di 20:

20 ÷ 2 = 10

10 ÷ 2 = 5

5 ÷ 5 = 1

Quindi: 20 = 2² × 5

Scomposizione di 28:

28 ÷ 2 = 14

14 ÷ 2 = 7

7 ÷ 7 = 1

Quindi: 28 = 2² × 7

Calcolo del MCD:

Fattori comuni: solo 2 (esponente minimo 2)

MCD(20, 28) = 2² = 4

Calcolo del mcm:

Tutti i fattori: 2, 5, 7 con esponenti massimi

mcm(20, 28) = 2² × 5 × 7 = 4 × 5 × 7 = 140

Verifica:

• 140 ÷ 20 = 7 ✓

• 140 ÷ 28 = 5 ✓

• Entrambi i numeri dividono 140, ed è il più piccolo con questa proprietà

Esiste una relazione fondamentale tra MCD e mcm di due numeri che ci permette di verificare i nostri calcoli.

Formula importante:

Per due numeri a e b: MCD(a,b) × mcm(a,b) = a × b

Questa formula deriva dal fatto che quando calcoliamo MCD prendiamo i fattori comuni con esponente minimo, mentre per mcm prendiamo tutti i fattori con esponente massimo.

Verifica con i nostri esempi:

Esempio 1: MCD(250, 450) = 50, mcm(250, 450) = 2250

50 × 2250 = 112500

250 × 450 = 112500 ✓

Esempio 2: MCD(20, 28) = 4, mcm(20, 28) = 140

4 × 140 = 560

20 × 28 = 560 ✓

Questa relazione è molto utile: se conosciamo uno dei due valori, possiamo calcolare l'altro senza rifare tutto il procedimento.

Oltre al metodo della scomposizione in fattori primi, esistono metodi alternativi utili in situazioni particolari.

Metodo delle divisioni successive (Algoritmo di Euclide) per il MCD:

1. Si divide il numero maggiore per quello minore

2. Si divide il primo numero per il resto ottenuto

3. Si continua finché il resto non è zero

4. L'ultimo resto diverso da zero è il MCD

Esempio con 84 e 60:

84 ÷ 60 = 1 resto 24

60 ÷ 24 = 2 resto 12

24 ÷ 12 = 2 resto 0

MCD(84, 60) = 12

Casi particolari importanti:

• Se un numero divide l'altro, il MCD è il numero più piccolo e il mcm è quello più grande

• Se due numeri sono primi tra loro (MCD = 1), il loro mcm è il loro prodotto

• Per numeri consecutivi, il MCD è sempre 1

Trucco per verificare: il mcm deve sempre essere divisibile per tutti i numeri di partenza.