Monomi: definizione, regole e operazioni essenziali

Un monomio è un'espressione algebrica costituita dal prodotto di un numero (chiamato coefficiente numerico) e di una o più lettere (chiamate parte letterale). Le lettere rappresentano variabili matematiche e possono essere elevate a potenze con esponenti naturali.

La struttura generale di un monomio è: coefficiente numerico × parte letterale. Ad esempio, nel monomio 3ab, il numero 3 è il coefficiente numerico e ab è la parte letterale.

Esempi di monomi: 5x, -2abc, 7y², ½xyz. In ciascuno di questi esempi possiamo identificare chiaramente il coefficiente numerico e la parte letterale.

È importante notare che in un monomio non possono comparire operazioni di addizione o sottrazione tra le variabili. Se troviamo espressioni come 3x + 2y o a - b, queste non sono monomi ma polinomi.

Il grado di un monomio è la somma di tutti gli esponenti delle lettere che compaiono nella parte letterale. Questo concetto è fondamentale per classificare e operare con i monomi.

Per calcolare il grado, dobbiamo sommare gli esponenti di tutte le variabili presenti. Ad esempio, nel monomio 2x³y²z, il grado è 3 + 2 + 1 = 6 (ricordiamo che z ha esponente 1, anche se non è scritto).

Esempi di calcolo del grado: il monomio 5a²b³ ha grado 2 + 3 = 5; il monomio -7xy⁴z² ha grado 1 + 4 + 2 = 7; il monomio 3x ha grado 1.

Un caso particolare è rappresentato dai monomi di grado zero, che sono costituiti solo dal coefficiente numerico senza parte letterale, come 5 o -3.

Due monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale, cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti. Il coefficiente numerico può essere diverso.

Esempi di monomi simili: 4x²y e -7x²y sono simili perché hanno la stessa parte letterale x²y. Anche 3abc e ½abc sono simili.

Due monomi si dicono opposti quando sono simili e hanno coefficienti numerici opposti (stesso valore assoluto ma segno contrario). Ad esempio, 5xy² e -5xy² sono monomi opposti.

Il riconoscimento di monomi simili è fondamentale per eseguire le operazioni di addizione e sottrazione, mentre i monomi opposti hanno la proprietà particolare che la loro somma è sempre uguale a zero.

L'addizione e sottrazione di monomi è possibile solo tra monomi simili. Quando due o più monomi sono simili, possiamo sommarli o sottrarli operando sui coefficienti numerici e mantenendo invariata la parte letterale.

La regola è semplice: si sommano o sottraggono i coefficienti numerici e si mantiene la stessa parte letterale. Ad esempio: 3x²y + 5x²y = 8x²y e 7ab² - 2ab² = 5ab².

Se i monomi non sono simili, l'operazione non può essere eseguita e il risultato rimane un'espressione con più termini. Ad esempio, 3x + 2y non può essere semplificato ulteriormente perché i monomi non sono simili.

Esempi pratici: 4a²b + 6a²b - a²b = 9a²b; 5xy + 3xy = 8xy; 2m³n - 7m³n = -5m³n.

La moltiplicazione tra monomi è sempre possibile, indipendentemente dal fatto che siano simili o meno. Il risultato è sempre un monomio ottenuto moltiplicando i coefficienti numerici e le parti letterali.

Per moltiplicare i coefficienti numerici si applicano le normali regole della moltiplicazione tra numeri. Per la parte letterale, si moltiplicano le potenze con la stessa base sommando gli esponenti.

Esempio: (3x²y) × (4xy³) = 12x³y⁴. Il coefficiente è 3 × 4 = 12, per x abbiamo x² × x = x³, per y abbiamo y × y³ = y⁴.

Altri esempi: (-2a²b) × (5ab³) = -10a³b⁴; (6xy) × (-3x²z) = -18x³yz. Il grado del prodotto è sempre la somma dei gradi dei monomi moltiplicati.

La divisione tra monomi è possibile quando ogni lettera del divisore compare anche nel dividendo con un esponente maggiore o uguale. Il risultato è un monomio ottenuto dividendo i coefficienti e sottraendo gli esponenti delle lettere uguali.

Per il coefficiente numerico si esegue la normale divisione tra numeri. Per la parte letterale, si dividono le potenze con la stessa base sottraendo gli esponenti: a^m : a^n = a^(m-n).

Esempio: (12x⁴y³) : (3x²y) = 4x²y². Il coefficiente è 12 : 3 = 4, per x abbiamo x⁴ : x² = x², per y abbiamo y³ : y = y².

Altri esempi: (15a³b²c) : (5ab) = 3a²bc; (-8x⁵y²) : (2x³y²) = -4x². Se una lettera del divisore non compare nel dividendo, la divisione non è possibile nell'insieme dei monomi.

La potenza di un monomio si calcola elevando sia il coefficiente numerico che ogni lettera della parte letterale all'esponente indicato. Questa operazione segue le proprietà delle potenze.

La regola generale è: (ab^n)^m = a^m × b^(n×m). Il coefficiente viene elevato alla potenza indicata, mentre ogni esponente della parte letterale viene moltiplicato per l'esponente della potenza.

Esempio: (2x²y)³ = 2³ × (x²)³ × y³ = 8x⁶y³. Il coefficiente 2 diventa 2³ = 8, x² diventa x⁶, y diventa y³.

Altri esempi: (3ab²)² = 9a²b⁴; (-2xy³)⁴ = 16x⁴y¹². Il grado del risultato è sempre il prodotto del grado del monomio originale per l'esponente della potenza.