Problemi con le proporzioni e i cavi elettrici
Le proporzioni sono uno strumento matematico fondamentale per risolvere problemi pratici della vita quotidiana. Quando due grandezze sono direttamente proporzionali, possiamo utilizzare le proporzioni per trovare valori sconosciuti. Un esempio tipico riguarda il peso e la lunghezza di materiali omogenei come i cavi elettrici.
Il problema della bobina di cavi elettrici
Consideriamo questo problema: una bobina di cavi elettrici pesa 1250 kg ed una volta srotolata è lunga 40 metri. Quanto è lunga un'altra bobina dello stesso tipo che però pesa 1500 kg?
Questo è un tipico problema di proporzionalità diretta: se il peso aumenta, anche la lunghezza aumenta nella stessa proporzione, perché si tratta dello stesso tipo di cavo con la stessa densità.
Per risolvere il problema dobbiamo impostare una proporzione che metta in relazione peso e lunghezza delle due bobine.
Impostazione della proporzione
Organizziamo i dati in una tabella per visualizzare meglio le relazioni:
Prima bobina: peso = 1250 kg, lunghezza = 40 m
Seconda bobina: peso = 1500 kg, lunghezza = ? (chiamiamola y)
La proporzione si scrive così: 1250 : 40 = 1500 : y
Questa proporzione esprime il fatto che il rapporto tra peso e lunghezza deve essere uguale per entrambe le bobine, dato che sono dello stesso tipo di cavo.
Risoluzione della proporzione
Per risolvere la proporzione 1250 : 40 = 1500 : y, applichiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Quindi: 1250 × y = 40 × 1500
Calcoliamo il prodotto: 1250 × y = 60.000
Per trovare y, dividiamo entrambi i membri per 1250: y = 60.000 ÷ 1250 = 48
La seconda bobina è lunga 48 metri.
Verifica del risultato
È sempre importante verificare che il risultato ottenuto sia corretto. Possiamo farlo calcolando il rapporto peso/lunghezza per entrambe le bobine:
Prima bobina: 1250 kg ÷ 40 m = 31,25 kg/m
Seconda bobina: 1500 kg ÷ 48 m = 31,25 kg/m
I due rapporti sono uguali, confermando che il nostro calcolo è corretto. Ogni metro di cavo pesa esattamente 31,25 kg.
Metodo alternativo di risoluzione
Possiamo risolvere lo stesso problema anche con un approccio diverso, calcolando prima il peso per metro di cavo:
Peso per metro = 1250 kg ÷ 40 m = 31,25 kg/m
Ora possiamo trovare la lunghezza della seconda bobina dividendo il suo peso per il peso per metro:
Lunghezza = 1500 kg ÷ 31,25 kg/m = 48 m
Come vediamo, otteniamo lo stesso risultato con entrambi i metodi.
Applicazioni pratiche delle proporzioni
I problemi di proporzionalità diretta come questo sono molto comuni nella vita reale:
In edilizia, per calcolare la quantità di materiali necessari in base alle dimensioni di un progetto.
In cucina, per adattare le ricette al numero di persone.
Nel commercio, per calcolare prezzi in base a quantità o peso.
Nell'industria, per determinare tempi di produzione, consumi di energia o quantità di materie prime.
Conclusione
Le proporzioni sono uno strumento matematico potente e versatile che ci permette di risolvere molti problemi pratici. Nel caso delle bobine di cavi elettrici, abbiamo visto come la proporzionalità diretta tra peso e lunghezza ci consenta di calcolare facilmente dimensioni sconosciute. Padroneggiare questo tipo di calcoli è fondamentale per sviluppare il ragionamento matematico e per affrontare situazioni reali in cui è necessario stabilire relazioni tra grandezze diverse.