Trasformazione della frazione: formule e regole

Prima di affrontare le trasformazioni, è importante comprendere cosa sono i numeri razionali e il loro ruolo nel sistema numerico.

Nel sistema dei numeri, distinguiamo diversi insiemi numerici:

• Numeri naturali (ℕ): 1, 2, 3, 4... usati per contare

• Numeri interi (ℤ): comprendono lo zero, i numeri naturali e i loro opposti negativi

• Numeri razionali (ℚ): tutti i numeri che possono essere espressi come frazione a/b, dove a e b sono interi e b ≠ 0

I numeri razionali comprendono tutte le frazioni e rappresentano un insieme molto ampio che include sia i numeri interi che i numeri decimali finiti e periodici.

Le frazioni sono la rappresentazione più diretta dei numeri razionali e possono essere trasformate in diverse forme per facilitare i calcoli e la comprensione matematica.

Prima di trasformare una frazione in numero decimale, è fondamentale ridurla ai minimi termini.

Riduzione ai minimi termini:

1. Scomporre in fattori primi sia il numeratore che il denominatore

2. Identificare i fattori comuni tra numeratore e denominatore

3. Semplificare dividendo entrambi per il loro Massimo Comune Divisore (MCD)

Esempio pratico:

• Frazione iniziale: 12/18

• Scomposizione: 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3²

• MCD = 2 × 3 = 6

• Frazione ridotta: 12÷6/18÷6 = 2/3

Solo dopo aver ridotto la frazione ai minimi termini possiamo procedere con la trasformazione, ottenendo risultati più semplici e chiari.

La trasformazione di una frazione in numero decimale si effettua dividendo il numeratore per il denominatore. Il tipo di risultato dipende dalla scomposizione in fattori primi del denominatore.

Caso 1: Numeri decimali finiti

Se il denominatore, nella sua scomposizione in fattori primi, contiene solo potenze di 2 e/o di 5, la frazione genera un numero decimale finito.

Esempio: 7/20

• Scomposizione di 20: 20 = 2² × 5

• Divisione: 7 ÷ 20 = 0,35

• Risultato: numero decimale finito

Caso 2: Numeri decimali periodici semplici

Se il denominatore non contiene né 2 né 5, ma solo altri fattori primi, la frazione genera un numero decimale periodico semplice.

Esempio: 1/9

• Scomposizione di 9: 9 = 3²

• Divisione: 1 ÷ 9 = 0,111111... = 0,(1)

• Risultato: numero decimale periodico semplice

Caso 3: Numeri decimali periodici misti

Se il denominatore contiene sia potenze di 2 o 5 che altri fattori primi, la frazione genera un numero decimale periodico misto.

Esempio: 25/12

• Scomposizione di 12: 12 = 2² × 3

• Divisione: 25 ÷ 12 = 2,0833333... = 2,08(3)

• Risultato: numero decimale periodico misto (antiperiodo: 08, periodo: 3)

La trasformazione inversa, dal numero decimale alla frazione, si chiama ricerca della frazione generatrice. Anche qui distinguiamo diversi casi.

Numeri decimali finiti:

Per i numeri decimali finiti, la regola è semplice:

• Numeratore: il numero scritto senza virgola

• Denominatore: 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali

Esempi:

• 32,244 = 32244/1000

• 0,75 = 75/100 = 3/4 (ridotta ai minimi termini)

• 1,5 = 15/10 = 3/2

Numeri decimali periodici semplici:

Formula: (numero completo - parte intera) / (tanti 9 quante sono le cifre del periodo)

Esempio: 0,(3) = 3/9 = 1/3

Esempio: 2,(45) = (245 - 2)/99 = 243/99 = 27/11

Numeri decimali periodici misti:

Formula più complessa:

• Numeratore: (numero completo - parte non periodica)

• Denominatore: tanti 9 quante sono le cifre del periodo + tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo

Esempio: 13,66(4)

• Numeratore: 1366 - 136 = 1230

• Denominatore: 90 (un 9 per una cifra del periodo + uno 0 per una cifra dell'antiperiodo)

• Risultato: 1230/90 = 41/3

Saper riconoscere il tipo di numero decimale che una frazione genererà è una competenza molto utile, possibile analizzando la scomposizione del denominatore.

Metodo di riconoscimento:

1. Ridurre la frazione ai minimi termini

2. Scomporre il denominatore in fattori primi

3. Analizzare i fattori presenti:

- Solo 2 e/o 5 → decimale finito

- Nessun 2 o 5 → periodico semplice

- Sia 2/5 che altri → periodico misto

Esempi pratici:

• 1/5: denominatore = 5 → decimale finito (0,2)

• 11/21: denominatore = 3 × 7 → periodico semplice

• 4/9: denominatore = 3² → periodico semplice

• 7/55: denominatore = 5 × 11 → periodico misto

• 19/50: denominatore = 2 × 5² → decimale finito

Questa analisi preliminare permette di prevedere il risultato prima ancora di effettuare la divisione.

Per eseguire correttamente le trasformazioni, è utile conoscere alcune tecniche di calcolo e strategie operative.

Per le divisioni lunghe:

• Organizzare il lavoro in modo ordinato

• Tenere traccia dei resti per identificare quando inizia il periodo

• Se un resto si ripete, il periodo è iniziato

• Fermarsi quando si è identificato completamente il periodo

Per le frazioni generatrici:

• Identificare correttamente antiperiodo e periodo

• Usare la notazione con la parentesi per il periodo: 0,(3) per 0,333...

• Applicare la formula corretta per ogni tipo

• Verificare sempre il risultato riducendo ai minimi termini

Controlli di verifica:

• Controllare che il risultato sia ragionevole

• Verificare trasformando nuovamente la frazione ottenuta

• Controllare che la frazione sia ai minimi termini

• Usare la calcolatrice per verificare le divisioni

Le trasformazioni fra frazioni e numeri decimali hanno numerose applicazioni pratiche nella vita quotidiana e nella matematica.

Applicazioni quotidiane:

• Percentuali: 1/4 = 0,25 = 25%

• Misure: 3/4 di metro = 0,75 m = 75 cm

• Ricette: 1/3 di litro = 0,(3) litri ≈ 333 ml

• Valutazioni: 7/10 = 0,7 = voto in decimi

Collegamenti matematici:

• Equazioni: risoluzione con coefficienti frazionari

• Proporzioni: verifica di uguaglianze

• Geometria: calcolo di aree e perimetri

• Statistica: calcolo di medie e frequenze

Importanza per gli studi futuri:

• Base per lo studio delle funzioni

• Preparazione per l'algebra delle superiori

• Fondamento per il calcolo scientifico

• Sviluppo del ragionamento logico-matematico

Padroneggiare queste trasformazioni significa avere uno strumento potente e versatile per affrontare una vasta gamma di problemi matematici.